Disputa entre o UM e o ZERO

"Eu valho muito pouco, sou sincero, dizia o Um ao Zero. No entanto, quanto vales tu ? Na pratica és tão vazio e inconcluente quanto na matemática. Ao passo que eu, se me coloco à frente de cinco zeros bem iguais a ti, sabes acaso quanto fico ?
Cem mil, meu caro, nem um tico a menos nem um tico a mais. Questão de números. Aliás é aquilo que sucede com todo ditador que cresce em importância e valor quanto mais são os zeros a segui-lo "

(Trilussa, poeta italiano. Viveu no tempo de Mussolini)

Poesia Matemática (Millôr Fernandes)

Um Quociente apaixonou-se
Um dia
Doidamente
Por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
E viu-a, do Ápice à Base…
Uma Figura Ímpar;
Olhos rombóides, boca trapezóide,
Corpo ortogonal, seios esferóides.
Fez da sua
Uma vida
Paralela à dela.
Até que se encontraram
No Infinito.
“Quem és tu?” indagou ele
Com ânsia radical.
“Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode chamar-me Hipotenusa.”
E de falarem descobriram que eram
O que, em aritmética, corresponde
A alma irmãs
Primos-entre-si.
E assim se amaram
Ao quadrado da velocidade da luz.
Numa sexta potenciação
Traçando
Ao sabor do momento
E da paixão
Retas, curvas, círculos e linhas sinoidais.
Escandalizaram os ortodoxos
Das fórmulas euclideanas
E os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas
E pitagóricas.
E, enfim, resolveram casar-se.
Constituir um lar.
Mais que um lar.
Uma Perpendicular.
Convidaram para padrinhos
O Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e
Diagramas para o futuro
Sonhando com uma felicidadeIntegral
E diferencial.
E casaram-se e tiveram
Uma secante e três cones
Muito engraçadinhos.
E foram felizes
Até àquele dia
Em que tudo, afinal,
Se torna monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum…
Frequentador de Círculos Concêntricos.
Viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
Uma Grandeza Absoluta,
E reduziu-a a um Denominador Comum.
Ele, Quociente, percebeu
Que com ela não formava mais Um Todo.
Uma Unidade.
Era o Triângulo,
Chamado amoroso.
E desse problema ela era a fracção
Mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a
Relatividade.
E tudo que era expúrio passou a ser
Moralidade
Como aliás, em qualquer
Sociedade.

construções comrégua e compasso

Em geometria, uma construção com régua e compasso é o desenho geométrico de segmentos de reta ou ângulos usando apenas uma régua e um compasso idealizados ou seja:
A régua pode ser usada para construir um segmento tão longo quanto se queira que contenha dois pontos dados. Particularmente tal régua não é graduada, não podendo ser utilizada para medir;
O compasso pode ser usado para construir a circunferência de centro em um dado ponto A e que passa por um dado ponto B. Assim deve ter pernas tão compridas quanto precisamos.
As construções com régua e compasso são baseadas nos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides por isso são também conhecidas por “construções euclidianas”, apesar dos termos “régua” e “compasso” não aparecerem nessa obra.

A irmã Matemática e a irmã Lógica

Duas freiras saíram do convento para vender biscoitos. Uma é conhecida como Irmã Matemática (M) e a outra é conhecida como Irmã Lógica (L)

M - Está ficando escuro e nós ainda estamos longe do convento!!!
L - Você reparou que um Homem está nos seguindo há uma meia hora?
M - Sim, o que será que ele quer?
L - É lógico! Ele quer nos estuprar.
M - Oh não! Se continuarmos neste ritmo ele vai nos alcançar em, no máximo 15 minutos. O que vamos fazer?
L - A única coisa lógica a fazer é andarmos mais rápido!!!
M - Não está funcionando.
L - Claro que não! Ele fez a única coisa lógica a fazer: ele também, começou a andar mais rápido.
M - E agora, o que devemos fazer? Ele nos alcançará em 1 minuto!
L - A única coisa lógica que nos resta fazer, é nos separar! Você vai para aquele lado que eu vou para este lado. Ele não poderá seguir nós duas.

Então o homem decidiu seguir a Irmã Lógica. A Irmã Matemática chegou ao convento preocupada com o que poderia ter acontecido à Irmã Lógica. Então a Irmã Lógica chegou.

M - Irmã Lógica!! Graças a Deus você chegou! Me conte o que aconteceu!!!
L - Aconteceu o lógico. O homem não podia seguir nós duas então ele optou por me seguir.
M - Sim, mas o que aconteceu depois?
L - O lógico, eu comecei a correr o mais rápido que podia e ele correu o mais rápido que ele podia também.
M - E?
L - Novamente aconteceu o lógico: ele me alcançou.
M - O meu Deus! O que você fez?
L - Eu fiz o lógico, levantei meu hábito.
M - Oh, Irmã! O que o homem fez? L - Ele também fez o lógico e abaixou as calças.
M - Oh não! O que aconteceu depois?
L - Não é óbvio Irmã? Uma freira com o hábito levantado consegue correr muito mais rápido do que um homem com as calças abaixadas!!!!!

Você seria capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente 5.050 ao seu professor surpreendendo-o pela sua grande habilidade na matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Príncipe da Matemática".

Vejam abaixo a resolução proposta por Gauss (isso aos 10 anos de idade):

Multiplicando com os dedos

Durante a Idade Média e o Renascimento, poucas foram as pessoas que chegaram a conhecer a tabela de multiplicar para além de 5x5. Assim, usava-se um método muito popular que se baseava no uso dos complementos dos números dados relativamente a 10. Como tal, o complemento de n relativamente a 10 será 10-n. Neste método era frequente usar os dedos das mãos como instrumento de cálculo . Associa-se aos dedos de cada mão os números de 6 a 10, começando pelo dedo mindinho.

Para multiplicar 7 por 8 tocam-se os dedos associados ao 7 e ao 8, como se observa na figura seguinte .

Note-se que o complemento de 7 está representado pelos três dedos superiores (situados acima dos dedos em contacto) de uma mão e o complemento de 8 pelos dedos superiores na outra mão. Os cinco dedos inferiores representam o 5, ou seja, 5 dezenas. A 50 adiciona-se o produto dos dedos superiores, 3x2, ou seja 6, dando no total 56.

Como é isto possível?
Ao calcular pxq (p,q=6,7,8,9) , juntam-se p-5 dedos na mão esquerda e ficam 10-p dedos. Na mão direita juntam-se q-5 dedos e sobram 10-q dedos. A soma dos dedos da mão esquerda com os dedos da mão direita representa as dezenas, ou seja, 10(p-5+q-5). A este resultado adiciona-se o produto dos dedos que sobram de ambas as mãos, ou seja, (10-p)(10-q)Assim, o resultado é,
10(p-5+q-5)+(10-p)(10-q)
ou seja,
10p-50+10q-50+100-10q-10p+pq=pxq
Este método simples de usar os dedos para calcular o produto de qualquer par de números compreendidos entre 6 e 10 foi extensivamente usado durante o Renascimento, ainda hoje é utilizado em certas zonas rurais da Europa e da Rússia.

Este método deve ser dado a conhecer aos alunos, em qualquer nível de escolaridade, visto ser um método de multiplicar interessante, curioso e motivante.

Torre de Hanoi

Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a mais conhecida diz respeito a um templo cosmopolita holandês, situado no centro do universo sub-aquático oceanico. Diz-se que Brahma supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma ordenara-lhes que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem tranferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria. Hans supostamente inspirou-se na lenda para construir o jogo, o qual tornou-se muito popular na China Oriental.

É interessante observar que o número mínimo de "movimentos" para conseguir transferir todos os discos da primeira estaca à terceira é 2ⁿ-1, sendo n o número de discos. logo:

Para solucionar um hanoi de 3 discos, são necessários 2³ -1 movimentos = 7 movimentos

Para solucionar um hanoi de 7 discos, são necessários 127 movimentos

Para solucionar um hanoi de 15 discos, são necessários 32.767 movimentos

Para solucionar um hanoi de 64 discos, como diz a lenda, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.

As frações e as divisões

Há 3000 antes de Cristo, os geometras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.



Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

Você concorda com esta divisão? Por quê?

Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?

Afinal: "Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte."

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:

D =1/2:2/3

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

D =1/2:2/3=3/6:4/6

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.


Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

D =1/2:2/3=3/6 x 6/4=18/24=3/4

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

a/b:c/d=a/b x d/c=a.d/b.c

O problema do caixeiro viajante

"Suponha que um caixeiro viajante tenha de visitar n cidades diferentes, iniciando e encerrando sua viagem na primeira cidade. Suponha, também, que não importa a ordem com que as cidades são visitadas e que de cada uma delas pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total. "

Exemplificando o caso n = 4: se tivermos quatro cidades A, B, C e D, uma rota que o caixeiro deve considerar poderia ser: saia de A e daí vá para B, dessa vá para C, e daí vá para D e então volte a A. Quais são as outras possibilidades ?

É muito fácil ver que existem seis rotas possíveis:

ABCDA
ABDCA
ACBDA
ACDBA
ADBCA
ADCBA

O problema do caixeiro é um clássico exemplo de problema de otimização combinatória. A primeira coisa que podemos pensar para resolver esse tipo de problema é reduzí-lo a um problema de enumeração: achamos todas as rotas possíveis e, usando um computador, calculamos o comprimento de cada uma delas e então vemos qual a menor. ( É claro que se acharmos todas as rotas estaremos contando-as, daí podermos dizer que estamos reduzindo o problema de otimização a um de enumeração ).

Para acharmos o número R( n ) de rotas para o caso de n cidades, basta fazer um raciocínio combinatório simples e clássico. Por exemplo, no caso de n = 4 cidades, a primeira e última posição são fixas, de modo que elas não afetam o cálculo; na segunda posição podemos colocar qualquer uma das 3 cidades restantes B, C e D, e uma vez escolhida uma delas, podemos colocar qualquer uma das 2 restantes na terceira posição; na quarta posição não teríamos nenhuma escolha, pois sobrou apenas uma cidade; consequentemente, o número de rotas é 3 x 2 x 1 = 6, resultado que tinhamos obtido antes contando diretamente a lista de rotas acima.De modo semelhante, para o caso de n cidades, como a primeira é fixa, o leitor não terá nenhuma dificuldade em ver que o número total de escolhas que podemos fazer é (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1.

De modo que, usando a notação de fatorial: R( n ) = ( n - 1 )!.
Assim que nossa estratêgia reducionista consiste em gerar cada uma dessas R( n ) = ( n - 1 )! rotas, calcular o comprimento total das viagens de cada rota e ver qual delas tem o menor comprimento total. Trabalho fácil para o computador, diria alguém. Bem, talvez não. Vejamos o porquê.

Suponhamos temos um muito veloz computador, capaz de fazer 1 bilhão de adições por segundo. Isso parece uma velocidade imensa, capaz de tudo. Com efeito, no caso de 20 cidades, o computador precisa apenas de 19 adições para dizer qual o comprimento de uma rota e então será capaz de calcular 10^9 / 19 = 53 milhões de rotas por segundo. Contudo, essa imensa velocidade é um nada frente à imensidão do número 19! de rotas que precisará examinar. Com efeito, acredite se puder, o valor de 19! é 121 645 100 408 832 000 ( ou , aproximadamente, 1.2 x 10^17 em notação científica ). Consequentemente, ele precisará de

1.2 x 10^17 / ( 53 milhões ) = 2.3 x 10^9 segundos

para completar sua tarefa, o que equivale a cerca de 73 anos . O problema é que a quantidade ( n - 1 )! cresce com uma velocidade alarmante, sendo que muito rapidamente o computador torna-se incapaz de executar o que lhe pedimos.

Constate isso mais claramente na tabela a seguir:

Observe que o aumento no valor do n provoca uma muito lenta diminuição na velocidade com que o computador calcula o tempo de cada rota ( ela diminui apenas de um sexto ao n aumentar de 5 para 25 ), mas provoca um imensamente grande aumento no tempo total de cálculo. Em outras palavras: a inviabilidade computacional é devida à presença da fatorial na medida do esforço computacional do método da redução.

Com efeito, se essa complexidade fosse expressa em termos de um polinómio em n o nosso computador seria perfeitamente capaz de suportar o aumento do n. Confira isso na seguinte tabela que corresponde a um esforço computacional polinomial R( n ) = n5:


Então o método reducionista não é prático ( a não ser para o caso de muito poucas cidades ), mas será que não pode-se inventar algum método prático ( por exemplo, envolvendo esforço polinomial na variável número de ) para resolver o problema do caixeiro?
Bem, apesar de inúmeros esforços, ainda não foi achado um tal método e começa-se a achar que o mesmo não existe.

A existência ou não de um método polinomial para resolver o problema do caixeiro viajante é um dos grandes problemas em aberto da Matemática na medida em que S. A. COOK ( 1971 ) e R. M. KARP ( 1972 )[foto ao lado] mostraram que uma grande quantidade de problemas importantes ( como é o caso de muitos tipos de problemas de otimização combinatória, o caso do problema da decifragem de senhas criptografadas com processos modernos como o DES, etc ) podem ser reduzidos, em tempo polinomial, ao problema do caixeiro. Consequentemente: se descobrirmos como resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial ficaremos sendo capazes de resolver, também em tempo polinomial, uma grande quantidade de outros problemas matemáticos importantes; por outro lado, se um dia alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá estabelecido que uma grande quantidade de problemas importantes não tem solução prática.

Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos.

Mas o que é Matemática?

Agora definiremos um termo muito importante e utilizado no dia-a-dia.

Matemática - do grego máthēma (μάθημα): ciência, conhecimento, aprendizagem; mathēmatikós (μαθηματικός): apreciador do conhecimento. É a ciência do raciocínio lógico. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa. Embora muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a Matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se.

Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a Matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos:

Matemática é a ciência das regularidades (padrões).

Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e as teorias matemáticas tentam explicar as relações entre elas.
Uma outra definição seria que é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na Física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (matemática pura), por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.
Historicamente as disciplinas básicas dentro da matemática estão associadas à necessidade de se efetuarem cálculos no comércio, medir terras e predizer eventos astronômicos. Essas três necessidades podem ser relacionadas às grandes subdivisões da matemática: o cálculo básico (somas, subtracções, multiplicações e divisões), o estudo das estruturas, o estudo dos espaços (cálculos de áreas e volumes através do cálculo básico) e o estudo das alterações.

Entre as primeiras definições, encontra-se a de Aristóteles (384-322 a.C.): “Matemática é a ciência das grandezas”. Essa visão de Matemática perdurou por muitos séculos, e no renascimento começaram a surgir versões modificadas daquela de Aristóteles: “Matemática é a ciência da medida das grandezas”. Com o decorrer dos séculos, a Matemática começou a ser entendida como aquele corpo de conhecimento que lida com números, grandezas, figuras, com medições, quantidade, ordem e inferências.

Descartes (1596-1650) parece ter se defrontado com o problema de classificar a Matemática em sua árvore dos conhecimentos. Em sua filosofia ele esboça a árvore das ciências; nela as raízes são a Metafísica, o tronco a Física, e os ramos as demais ciências que dela derivam, principalmente a Medicina, a Mecânica e a Moral. E a Matemática? Nesta famosa árvore, estranhamente, não aparece a Matemática. Surge então a hipótese de que a dificuldade de incluí-la, como um dos ramos das ciências, derive, justamente, da falta de clareza quanto ao seu objeto. Segundo Granger, o status da Matemática é singular, “ela não se acha nem ao nível da Metafísica, que funda a ciência e lhe fornece os seus princípios, nem ao nível das outras ciências, que reconstroem as coisas pelo pensamento, dando a razão dos efeitos. Como ciência da extensão, ela condiciona diretamente o conhecimento das coisas sensíveis e perde, portanto, o direito de fazer parte da Física; mas, de fato, como toma para objeto o que há de mais simples nas coisas, de mais imediatamente acessível nelas às idéias claras e distintas, ela intervém no sistema essencialmente como paradigma da dedução rigorosa, é exercício imediato do método” (Granger, in Descartes, p. 10). Granger percebe na Matemática um caráter singular, sua natureza é diferente das demais ciências.

A definição de Aristóteles servia na antigüidade como conceitualização de uma área do conhecimento que tinha como objeto primordialmente as grandezas, mas que já não era satisfatória na idade áurea da Matemática, quando esta começou a tratar com variáveis e ampliou o seu objeto de estudo e, serve muito menos nos dias atuais. A definição que propôs Aleksandrov, que ele mesmo reconhece ser incompleta e que caracteriza apenas a Matemática contemporânea, pode servir nos dias atuais, mas como ela deverá ser no próximo milênio?
A busca da definição de Matemática parece sem fim. Concordamos com o matemático contemporâneo Dieudonné que afirma não existir uma definição de Matemática, pelo menos não uma definição satisfatória.

BHASKARA DESCOBRIU A: FÓRMULA DE BHASKARA?

Bhaskara nem sabia o que é uma fórmula
As fórmulas surgem na Matemática só 400 anos depois de sua morte, consequentemente, não poderia ele ter descoberto fórmula nenhuma.

Naquela época, como eram resolvidas as equações ?
Usando REGRAS !
Chamamos de regra à uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo uma equação. Na época de Bhaskara essas regras, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema.

A partir de Aryabhata 500 dC, e possivelmente muito antes, os indianos já usavam várias regras para resolver equações do segundo grau. Entre essas, destacamos a seguinte que tem uma formulação muito próxima do procedimento que hoje usamos:

EXEMPLO: para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra: "multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso"

É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x² = px + q e x² + px = q.
Foi só na Era das Fórmulas, inaugurada com a Logistica Speciosa de François Viète c. 1 600 dC, que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.

Bhaskara conhecia a regra acima ?
Sim, conhecia.

Essa regra foi descoberta por Bhaskara ?
Não! Ela já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara Acharya.

O Cubo

A matemática tem sido apresentada de diversas maneiras em muitos filmes que mostram o quão ela é importante para desvendar mistérios e solucionar problemas. Uma dessas produções que fez seu devido

sucesso chama-se CUBO (em inglês - Cube) e mostra a história de um policial (Maurice Dean Wint), um ladrão (Wayne Robson), uma matemática (Nicole de Boer), uma psicóloga (Nicky Guadagni), um arquitecto (David Hewlett) e um jovem autista (Andrew Miller) que são misteriosamente presos em um labirinto de alta tecnologia. Sem comida nem água, eles precisam encontrar um meio de sair do local. Mas precisam também tomar cuidado para não acionar armadilhas letais, que surgem em estranhos cubos.



Sobre os personagens

Leaven (Nicole de Boer)- Joan Leaven começa o filme gritando como uma impotente dama em apuros. Ao invés de explorar seus arredores,ela começa a gritar por ajuda, atraindo Quentin, Holloway e Worth. Ela é o único membro do grupo que tem qualquer pertence (seus óculos) e a transforma em um meio capaz de escapar e o único que força Worth a ajudá-los. Sua habilidade como matemática se torna inestimáveis para o grupo durante a maior parte do filme, mas Quentin ainda a mantém ao seu redor por outras razões.

Helen Holloway (Nicky Guadagni)- A Dra. Helen Holloway é a mulher mais velha do grupo, e é uma médica de uma clínica gratuita. Ela mostra no início ser amarga, paranóica e melodramática. Ela é a principal fonte das teorias de conspiração e, muitas vezes, afirma que ela acha que o Governo dos Estados Unidos é responsável pelo Cubo. Conforme o filme avança, ela se torna mais humana: ela cuida das feridas de Quentin após o encontro com a Sushi Trap e sendo responsável por cuidar de Kazan quando o encontram. Também se mostra ser calma quando necessário e explica a Quentin em um quarto vermelho por que eles precisam de Worth.

David Worth (David Hewlett)- David Worth começa deitado pálido no chão, ferido e olhando de um modo sinistro. Ele mantém suas perspectivas sombrias em toda a primeira parte do filme, impedindo as chances de Quentin tentar sair. Ele frequentemente se pergunta por que razão ainda preocupa em seguir os outros e parece ter nenhuma razão para viver; "Eu sou apenas um rapaz. Eu trabalho num escritório de construções de edifícios, fazendo coisas, ok?” Ele funciona como peso morto, não faz nada para o grupo, a não ser levar Kazan e "testar" quartos (arremessando botas para testar o atiçamento de minúsculas armadilhas). No entanto, quando chegam a um quarto vermelho (logo após o encontro com a armadilha sushi), Quentin briga com Worth e o desafia.

Kazan (Andrew Miller)- Kazan é mostrado como um homem autista e está ali apenas para atrasá-los. Imediatamente provoca a desconfiança de Quentin e é quase descartado por Leaven antes da “armadilha silenciosa", presumindo que ele está ali para prejudicar a sua velocidade ou para matá-los. No entanto, ele é uma parte crucial para a fuga já que é o único que pode completar os cálculos necessários para alcançar a segurança, fazendo fatorações muito difíceis para Leaven.

Alderson (Julian Richings)- Alderson é personagem que aparece na abertura do filme, não se encontra com o resto do grupo e é morto nos segundos iniciais do filme. No entanto, é mostrado, para que ele se apresente como um personagem principal, no início, antes de morrer e para mostrar um pouco do sabor da carnificina que o filme vai mostrar.

Rennes (Wayne Robson)- Rennes, também conhecido como "a carriça”, o começa o sendo exibido como o líder do grupo. Ele se auto descreveu ser um artista em fugas que, fugiu das melhores prisões de sete países. É quem desenvolve o método de usar uma bota para detectar armadilhas. Ele tem bons sentidos e é atlético para um homem velho, apesar de um ter um espasmo facial que nunca é explicado.

Quentin (Maurice Dean Wint)- Quentin é o personagem principal do filme. Ele diz ser um policial. É forte e se diz ser o chefe do grupo, colocando-se na maior parte das tarefas perigosas e alegando que ele está à procura de "soluções práticas". No entanto, o filme revela rapidamente (principalmente através na briga entre Quentin e Worth em um quarto vermelho), que ele não é tudo o que aparenta.

A MATEMÁTICA do filme:

Leaven, que é uma perita em matemática, lembra que cada sala tinha um conjunto de números (gravado no espaço entre as salas), que estão associados e quando um desses números foi primo, sempre haverá uma armadilha nessa sala.
A finalidade de Leaven torna-se "quebrar o código do cubo", e eles fazem bons progressos através do Cubo. Quando eles acabem em uma sala com armadilhas em todos os quartos que os cercam a não ser o de cima, Quentin e verifica a porta no teto, através da qual cai uma sétima pessoa: Kazan. Ele parece ser um deficiente mental, e consequentemente comprometerá o grupo. Leaven então percebe que os números no espaço entre os cubos representam coordenadas cartesianas codificadas, mostrando onde cada sala é do Cubo. Com a informação de Worth, ela já pode adivinhar a dimensão do labirinto.Depois de descobrirem que um dos personagens foi o criador da armadilha Leaven pode descobrir o amanho do Cubo. Ela mede 4,27 m, e deduz que o labirinto poderá ser no máximo, 26 cubos por 26 cubos por 26 cubos, ou 17576 quartos. Usando as coordenadas codificadas, ela também é capaz de determinar se são apenas sete salas de uma face do cubo. Leaven também vê que os cubos mortais são aqueles cujos números incluem uma potência de um primo (incluindo, naturalmente, a primeira potência). Após esta descoberta, os presos são desafiados com a tarefa de realizar fatorações de números com três dígitos (uma tarefa difícil, em alguns casos, mas não tão difícil como Leaven o apresenta ser). Felizmente eles descobrem que Kazan, o antigo autista inútil, pode executar tais fatorações com facilidade; Ele anuncia o número de fatores primos quase tão rapidamente quanto Leaven pode ler para ele.




É importante ressaltar para os quem não sabe que o Número primo é um número inteiro com apenas quatro divisores inteiros: 1, -1, seu oposto e ele mesmo. Por exemplo, o número 7 é um número primo pois seus dois únicos divisores inteiros são 1 e 7, -1 e -7. Se um número inteiro tem módulo maior que 1 e não é primo, diz-se que é composto. Os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.

O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração). Que foi usado por Leaven para desvendar as propriedades do CUBO.

Aula de Matemática por Tom Jobim

Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você

Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal

Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão

Prá finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você.

Composição: Antonio Carlos Jobim / Marino Pinto

Dicionário do professor Josandro

Pequeno Dicionário de termos utilizados pelo seu amado professor:

Veja o que ele realmente quer dizer:

*En-ten-deu?: eu não to afim de explicar de novo.

*Égua: se eu tiver lhe falar mais uma vez como fazer isto, você está na série errada.

*Claro que sim: eu espero que você não estivesse dormindo quando eu falei sobre esse assunto, porque eu não estou afim de repetir isto.

*De novo pra você...: eu não devia estar falando isso, mas como eu sei que vocês esqueceram de tudo que eu falei a 2 segundos atrás então lá vai mais uma vez...

*Exemplo: eu não estou com vontade de mostrar todos os casos, e portanto eu farei um e lhe deixarei entender o resto.

*Agora é com vocês...: se eu chegar a falar isso é por que REALMENTE você é capaz de fazer.

*Exercícios (vale visto): esta é a parte chata das contas, por isso faça você mesmo!

*Macete/dica: este é o modo mais difícil de se chegar ao resultado, por mais que eu repita 15 vezes você não entende.

*É a mesma coisa: pelo menos uma linha desta explicação é igual a anterior.

*Presta atenção: eu já estou sem tempo, portanto vou falar e escrever mais rápido.

*Toda hora: pessoa que faz sempre a mesma pergunta.

     Espero que vocês tenham gostado, mas é tudo brincadeira, viu? não é isso o que eu realmente quero dizer quando falo estas palavras!!!hahaha

A fórmula do amor

Olha, essa é mais uma daquelas fórmulas pra vc treinar quando estiver frente a frente com a pessoa amada. Observe a beleza e elegância da solução desta equação:


Primeiro multiplica-se a incógnita X pelos termos de dentro do parênteses:

Agora, vamos tirar o Mínimo Múltiplo Comum dos denominadores, mas neste caso X+ BCO é igual a BCO+X, então o MMC é o próprio X + BCO. Depois é só igualar os denominadores:

Como os denominadores são iguais podemos eliminá-lo e aproveitamos e resolvemos a multiplicação:

Passamos todos os termos que possuem X (a incógnita) para a primeira parte da equação (trocando os sinais):

Os termos AMX se anulam, e podemos por em evidência BC na segunda parte da equação:


Passando BC dividindo temos o resultado, o valor da incógnita que procurávamos:

X=AMO-TE.

E aí?!?! Viu que beleza essa equação! Agora é só escolher uma garota(o) e aplicar a fórmula.En-ten-deu? Hehe
Até mais...

Quem foi o famoso Báskara?

Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia.
Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.

Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.

O mundo da matemágica

Bem-vindo alunos, neste blog abordaremos assuntos do seu cotidiano de sala de aula, além de algumas curiosidades matemáticas e "macetes"(dicas para os mais novos!!) sobre este louco mundo da matemágica!!